quelques rappels mathématiques... quelques exercices....

 

Rappels sur les notions de factorielle, d'arrangement et de combinaison

 

        Ces outils permettent, en mathématiques, de calculer le nombre de classements possibles d'un ensemble d'éléments donnés. Les exercices les plus classiques où peuvent être réclamés ces types d'outils sont les exercices qui font état d'une course (voiture, chevaux...), ou encore du nombre de combinaisons possibles d'un code.

 

        Rappelons tout d'abord que nous traiterons ici de trois choses:

  • de factoriel

  • d'arrangement

  • de combinaison.

 

        L'essentiel est de comprendre quel outil utilisé en fonction du problème. Il s'agit d'être attentif, préalablement, à l'intitulé de l'exercice, afin de viser juste: d'où la nécessité d'apprendre à identifier la fonction propre de chacun de ses trois outils afin de ne pas commettre d'erreur.

 

  1. Factorielle

 

        Prenons l'exemple d'une course de voiture, puisque c'est de loin l'exemple le plus usité. Admettons qu'un problème fasse part de ce type de cas. On nous explique par exemple qu'une course de voitures se tient un weekend par mois, et qu'elle comporte 10 concurrents. On nous pose alors la question suivante:

=> Combien d'ordres d'arrivée différents peut-il y avoir?

 

        Il s'agit de comprendre que ce problème pourrait-être représenté sous la forme d'un arbre. Mais tout à la fois, il s'agit aussi de comprendre qu'on a pas que ça à faire le jour du concours! Il faut aller vite, très vite.

        Aussi, dans ce cas précis, on doit remarquer que la question ne concerne qu'exclusivement le nombre d'ordres d'arrivée possible: ni plus, ni moins. Le nombre d'ordre à envisager s'effectue sur le nombre total d'éléments. On ne nous demande pas un podium (les trois premiers) ou quoique ce soit d'autre. On cherche donc le nombre de variations possibles d'une série donnée (dix éléments).

        On doit également retenir qu'il s'agit d'une course. Pourquoi cela est-il important? Parce qu'on utilise les factorielles, les arrangements et les éléments que lorsque un des éléments de la série à trouver ne peuvent être répétés deux fois au sein d'une même série. On comprend aisément qu'une voiture ne peut arriver à la fois première et dernière dans la même course...

 

        Ainsi, on nous demande ici le nombre d'ordres d'arrivée possibles: dans ce cas précis, ssi rien d'autre n'est demandé, on utilise la notion de factorielle tout simplement. On se rappellera la formule que voici:

 

On appelle factorielle du nombre n, notée « n! » ce qui se calcule comme suit:

n x (n – 1) x (n – 2) x (n – 3) x (...) x (2) x (1)

 

        Ici, il s'agit de calculer le factoriel du nombre 10 (puisque n = 10), puisqu'il y a 10 concurrents. Or:

10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3628800

 

        NB: Rassurez-vous, on ne vous donnera pas un factoriel au résultat aussi élevé le jour du concours, enfin... normalement....

 

  1. Arrangements

 

 Admettons maintenant que le problème se resserre. On nous demande, toujours à partir du même type de problème, soit une course de 10 concurrents, combien il y a de podiums différents possibles dans l'ordre. Ici, il s'agit de retenir deux choses fondamentales:

  • Tout d'abord, on parle de podium: cette fois-ci, on ne nous demande pas un nombre d'ordre d'arrivées qui prend en compte tous les concurrents, mais bien un ordre d'arrivée qui ne prend en compte que les trois premiers. Il ne s'agit donc pas ici de factorielle.

  • Deuxièmement, le sujet précise que l'ordre compte: c'est essentiel, puisqu'une fois encore, cela permet de faire une distinction avec ce qu'on verra par la suite comme étant une combinaison.

 

        Ici, nous devons donc utiliser non une factorielle, non une combinaison, mais un arrangement. On se rappellera la formule que voici:

 

On appelle le nombre d'arrangement de « p » objets parmi « n » le produit qui se calcule comme suit:

n x (n – 1) x (n – 2) x (n – 3) x (...) x (n – p + 1)

 

        Ici, « n » correspond donc au nombre total de concurrents, tandis que « p » fait écho au podium.

        On a donc: n = 10 et p = 3

        On calcule donc: 10 x (...) x (10 – 3 + 1). Ceci signifie que l'on s'arrêtera donc à 8.

        Ainsi, le nombre d'arrangements de 3 parmi 10 sera égal à 10 x 9 x 8 = 720.

 

  1. Combinaison

 

        Enfin, admettons que la consigne stipule à présent: on ou demande, toujours à partir du même type de problème (donc toujours une course de 10 concurrents), combien il y a de podiums différents possibles que ce soit dans l'ordre ou dans le désordre.

        Ici, il y a en commun avec la notion d'arrangement le fait que le cas étudié considère une arrivée restreinte à 3 éléments. Ce n'est pas le nombre d'ordres d'arrivée possibles qui est demandé, mais bien le nombre de podiums possibles. Cependant, à cela se rajoute une précision: l'ordre ne compte pas. On se fiche de les avoir dans l'ordre ou dans le désordre. On n'utilisera donc pas l'arrangement précisément pour cette raison.

        C'est là qu'intervient la notion de combinaison. On se rappellera la formule que voici:

 

On appelle le nombre de combinaison de « p » objets parmi « n », le quotient qui se calcule comme suit:

 n x (n – 1) x (n – 2) x (...) x (n – p + 1)

--------------------------------------------------------

p x (p – 1) x (p – 2) x (...) x (2) x (1)

 

        Ici, « n » correspond au nombre total de concurrents, tandis que « p » fait écho encore une fois au podium.

        On a donc: n = 10 et p = 3.

        On calcule donc: (10 x 9 x 8) : ( 3 x 2 x 1) = 120

 

  1. Entraînement

 

        Faites les 2 exercices le plus rapidement possibles...

       a) La loterie nationale comporte 49 boules numérotées de 1 à 49. Il s'agit de trouver 5 numéros parmi ces 49 dans une grille à 2 euros. Combien devrai-je dépenser si je voulais faire toutes les grilles possibles, sachant que l'ordre compte.

 

       b) Comme tous les dimanches, mon grand-père coure faire son tiercé. Le seul problème, c'est que depuis quelque temps, il perd un peu la tête. Il a décidé de jouer tous les tiercés possibles sur une course, sachant qu'il y a 18 chevaux au départ. Heureusement, l'ordre n'importe pas pour gagner la cagnotte spéciale de 15000 euros. Sachant qu'un ticket coûte 1 euros 50, rentrera-t-il dans ses frais?

 


           Vous pourrez à partir de ce lien télécharger le TD de mathématique numéro 1. Je vous laisse quelques jours pour le faire, puis je mettrai la correction en ligne.

          Bon courage, et bonnes fêtes!

td de mathématique numéro 1


          Quelques exercices supplémentaires pour les vacances...

          mathématiques vacances noel

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